最近在做时间序列预测时，在突增或者突降的变化剧烈的情况下，拟合参数的效果不好，有用到插值的算法补全一些数据来平滑剧烈变化过程。还有在图像处理中，也经常有用到插值算法来改变图像的大小，在图像超分(Image Super-Resolution)中上采样也有插值的身影。

 1. 什么是插值

最近在做时间序列预测时，在突增或者突降的变化剧烈的情况下，拟合参数的效果不好，有用到插值的算法补全一些数据来平滑剧烈变化过程。还有在图像处理中，也经常有用到插值算法来改变图像的大小，在图像超分(Image Super-Resolution)中上采样也有插值的身影。

插值(interpolation)，顾名思义就是插入一些新的数据，当然这些值是根据已有数据生成。插值算法有很多经典算法， 本文分享如下：

• 线性插值

• 双线性插值

• 双三次插值bicubic interpolation

2. 插值算法原理和实现

2.1 线性插值

线性插值是最简单的插值算法。如下图已知(x0, y0) (x1, y1)，在x处插值一点(x, y)。

可以通过简单几何知识来推出公式

实现上直接套公式，如果想插值多个点，可以利用线性回归的方式。

1. import os 

2. import numpy as np 

3. from sklearn.linear_model import LinearRegression 

4. def linear_interpolation(data, inter_num=4): 

5.     clf = LinearRegression() 

6.     X = np.array([[1], [inter_num+2]]) 

7.     y = data 

8.     clf.fit(X, y) 

9.     inter_values = clf.predict(np.array([ [i+2] for i in range(inter_num)])) 

10.     return inter_values 

11. data = [[10], [20]] 

12. linear_interpolation(data, 1) 

13. # array([[15.]]) 

14. def manual_linear_interpolation(x0, y0, x1, y1, x): 

15.     return y0+(x-x0)*(y1-y0)/(x1-x0) 

16. manual_linear_interpolation(1, 10, 3, 20, 2) 

17. # 15.0 

线性插值算法经常用在平滑数据上，也用在缺失值预处理中。

2.2 双线性插值

双线性插值是在两个方向上同时进行线性插值，经常用在图像处理中。双线性插值是已知2*2个点，插值生成一个点的过程。

如下图所示，双线性插值已知(x0, y1)(x0, y0)(x1, y1)(x1, y0)4个点，插值计算(x, y)。

• 先插值生成(x, y1)(x, y0)

• 在插值生成(x, y)

1. import cv2 

2. lean_img = cv2.imread('./lena.jpg') 

3. lena_x2 = cv2.resize(lean_img, (0, 0), fx=2, fy=2, interpolation=cv2.INTER_LINEAR) 

2.3 双三次插值

双线性插值利用22个点插值生成一个新的点，而双三次插值利用44个点来插值一个新的点。插值的过程就是如何估计aij， aij可以认为是16个点对插值点的影响因子。

影响因子设计来自于Cubic Convolution Interpolation For Digital Image Processing，

以下为Bicubic函数

1. import cv2 

2. lean_img = cv2.imread('./lena.jpg') 

3. lena_x2_cubic = cv2.resize(lean_img, (0, 0), fx=2, fy=2, interpolation=cv2.INTER_CUBIC) 

左边为双线性插值，右边有双三次插值，可以看出双三次插值效果好，双线性插值更平滑一点，清晰度不足。

3. 总结

本文介绍了三种常见的插值算法以及在数字图像处理中的应用。总结如下：

• 线性插值：通过2点插值新的点，可以利用线性回归计算插值点

• 双线性插值：通过4个点插值新的点

• 双三次插值：通过16个点插值新的点，插值权重利用bicubic函数